Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1對(duì)?x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范圍；
（3）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用f（x）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)求出a，再利用g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)求出g（-1）即可．
（2）利用（1）的結(jié)論把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（t+1）λ+t²+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立，再利用圖形找到t滿足的條件即可．
（3）把研究根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，借助于圖形可得結(jié)論．
解答：解：（1）f（x）=ln（e^x+a）是奇函數(shù)，則ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）恒成立．
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1.1+ae^-x+ae^x+a²=1，∴a（e^x+e^-x+a）=0，∴a=0．
又∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，

（2）只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立，
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0在λ∈（-∞，-1]恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1），則
∴而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．

（3）由（1）知f（x）=x，∴方程為，
令，
∵，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′₁（x）≥0，f₁（x）在x∈（0，e]上為增函數(shù)；
x∈[e，+∞）時(shí)，f′₁（x）≤0，f₁（x）在x∈[e，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)x=e時(shí)，．
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴函數(shù)f₁（x）、f₂（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，
∴①當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解．
②當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根．
③當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)根．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．