Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，試問在棱DD₁上能否找到一點(diǎn)M，使BM⊥平面B₁EF，若能，試確定點(diǎn)M的位置；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

解析:如圖,以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則B（1,1，0），B₁（1,1，1），E（1，，0），F(xiàn)（，1,0），設(shè)M（0,0，t），

于是=(-1,-1,t),=（-,，0）,B₁E=(0,- ,-1)，·=（-1,-1,t）·(-,,0)= -=0,

∴BM⊥EF恒成立.要使BM⊥平面B₁EF，只需BM⊥B₁E，即=0.而=(-1,-1,t)·(0,- ,-1)= -t=0,∴t=.故當(dāng)M是DD₁的中點(diǎn)時(shí)，BM⊥平面B₁.