Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)且橢圓的短軸長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�過(guò)右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn)，使得，恒成立？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）由橢圓性質(zhì)可知,點(diǎn)代入即可求得結(jié)果.

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時(shí),解得或.由①②可得,然后證明當(dāng)時(shí),通過(guò)方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理,坐標(biāo)表示即可證得結(jié)論.

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以.

又橢圓的短軸長(zhǎng)為，所以，所以，

解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，

，

由，解得或；

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，，

由，解得或.

由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.

當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，，

由，得，

直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

且，.

，

所以

.

綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立..