已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
5
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
分析：（1）直接根據(jù)條件列出
c
a
=
5
3
a=3
a2=b2+c2
，解方程求出b，c即可得到橢圓C的方程；
（2）先根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關(guān)于點P坐標的等式；再結(jié)合點P在橢圓上即可求出點P的坐標．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意
c
a
=
5
3
a=3
a2=b2+c2
 …（3分）
∴b=2，…（4分）
∴所求橢圓方程為
x2
9
+
y2
4
=1． （5分）
（2）設(shè)P點坐標為（x0，y0），
依題意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP為矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP為正方形，則有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|=
|OP|2-|AP|2
 有2=
x02+y02-4

兩邊平方得x02+y02=8…①（9分）
又因為P（x0，y0）在橢圓上，所以4x02+9y02=36…②
①，②聯(lián)立解得x02=
36
5
，y02=
4
5
 （11分）
所以滿足條件的有以下四組解
x0=
6
5
5
y0=
2
5
5
，
x0=
6
5
5
y0=-
2
5
5
，
x0= -
6
5
5
y0=
2
5
5
，
x0= -
6
5
5
y0=-
2
5
5
．
所以，橢圓C上存在四個點（
6
5
5
，
2
5
5
），（
6
5
5
，-
2
5
5
），（-
6
5
5
，
2
5
5
），（-
6
5
5
，-
2
5
5
），
分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直．（14分）
點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關(guān)于點P坐標的等式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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