Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：Sn2=3n2an+Sn﹣12 ， an≠0，n≥2，n∈N* ．
（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a的值；
（2）確定a的取值集合M，使a∈M時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 =3n2an+ 中分別令n=2，n=3，及a1=a

得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，

因?yàn)閍n≠0，所以a2=12﹣2a，a3=3+2a．

因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，

即2（12﹣2a）=a+3+2a，解得a=3．）

經(jīng)檢驗(yàn)a=3時(shí)，an=3n，Sn= ，Sn﹣1=

滿足 =3n2an+ ．

（2）解：由 =3n2an+ ，得 ﹣ =3n2an，

即（Sn+Sn﹣1）（Sn﹣Sn﹣1）=3n2an，

即（Sn+Sn﹣1）an=3n2an，因?yàn)閍n≠0，

所以Sn+Sn﹣1=3n2，（n≥2），①

所以Sn+1+Sn=3（n+1）2，②

②﹣①，得an+1+an=6n+3，（n≥2）．③

所以an+2+an+1=6n+9，④

④﹣③，得an+2﹣an=6，（n≥2）

即數(shù)列a2，a4，a6，…，及數(shù)列a3，a5，a7，…都是公差為6的等差數(shù)列，

因?yàn)閍2=12﹣2a，a3=3+2a．

∴an=

要使數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，須有a1＜a2，且當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，an＜an+1，

且當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＜an+1，即a＜12﹣2a，

3n+2a﹣6＜3（n+1）﹣2a+6（n為大于或等于3的奇數(shù)），

3n﹣2a+6＜3（n+1）+2a﹣6（n為偶數(shù)），

解得 ＜a＜ ．

所以M=（ ， ），當(dāng)a∈M時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

【解析】（1）分別令n=2，n=3，及a1=a，結(jié)合已知可由a表示a2 ， a3 ， 結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求a，（2）由 =3n2an+ ，得 ﹣ =3n2an ， 兩式相減整理可得所以Sn+Sn﹣1=3n2 ， 進(jìn)而有Sn+1+Sn=3（n+1）2 ， 兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求a
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等差關(guān)系的確定，掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列即可以解答此題．