Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長與焦距相等，直線x+y-1=0與E相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于C點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如果橢圓E上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：y=4x+m對稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓E的方程為（c＞0），
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），將y=x+1代入橢圓得3x²-4x+2-2c²=0，
∵，又C（1，0），
∴，
∴，
∴所求的橢圓E的方程為；

（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則，，
又設(shè)MN的中點(diǎn)為（x₀，y₀），則以上兩式相減得：，
?，
又點(diǎn)（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)，∴，
即，化簡得：9m²-8＜0，
因式分解得：（3m+2）（3m-2）＜0，
解得：．
分析：（Ⅰ）根據(jù)短軸與焦距相等得到b與c相等，且a等于b，則b²=c²，a²=2c²設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出已知直線與E的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，然后把直線方程代入到設(shè)出的橢圓方程中，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到兩個之和和兩根之積的關(guān)系式，同時利用求出C的坐標(biāo)，和設(shè)出的A和B的坐標(biāo)，由得到A與B橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式，三者聯(lián)立即可求出A與B的橫坐標(biāo)及c的值，把c的值代入所設(shè)的橢圓方程即可得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)出橢圓E上兩點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，把設(shè)出的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入到（Ⅰ）求出的橢圓方程得到兩個關(guān)系式并設(shè)出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個關(guān)系式相減并利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡即可得到MN中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，然后根據(jù)M與N關(guān)于直線l對稱得到MN的中點(diǎn)在直線l上，把MN的中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的方程又得到中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，兩個關(guān)系式聯(lián)立即可求出橫縱坐標(biāo)關(guān)于m的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以把中點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程后其值小于1，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會求直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握橢圓的簡單性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握一點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部所滿足的條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及對稱知識解決實(shí)際問題，是一道綜合題．