Question

已知數(shù)列滿足：是數(shù)列的前n項(xiàng)和.數(shù)列前n項(xiàng)的積為，且
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a,使得成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）是否存在，滿足對(duì)任意自然數(shù)時(shí)，恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由條件可得數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列，從而分別得到n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，合并即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再由數(shù)列前n項(xiàng)的積為，由再驗(yàn)證時(shí)的情況，即可得到的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出的表達(dá)式，再假設(shè)成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的知識(shí)，，代入發(fā)現(xiàn)等式恒不成立，從而得到不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列的結(jié)論；（Ⅲ）由上問(wèn)可知即證明存在，滿足對(duì)任意自然數(shù)時(shí)，，易知存在m=4使得當(dāng)時(shí)，恒成立.接著用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
試題解析：（Ⅰ）由題知，∴，∴
即數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列，                          1分
又 
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，                   2分
∴對(duì)一切              3分
又，當(dāng)時(shí)，且時(shí)滿足上式，
∴對(duì)一切                      5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列成等差數(shù)列，∴
∴     7分
若存在常數(shù)a，使得成等差數(shù)列，則在時(shí)恒成立
即
∴不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列                9分
（Ⅲ）存在使得當(dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，，下面用用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，.
②假設(shè)時(shí)，成立，即.
則當(dāng)，，所以時(shí)，成立.
綜合①②得，成立.所以當(dāng)時(shí)，.     13分