Question

（本小題滿分14分）已知關于的函數(shù)，其導函數(shù)為．記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．

（1）如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；

（2）若，證明：對任意的，都有；

（3）若對任意的、恒成立，試求的最大值．

Answer 1

（1）b＝－1，c＝3；（2）見解析；（3）k的最大值為

【解析】

試題分析：（1）【解析】
∵

由在處有極值，可得

解得，或 2分

若，，則，此時函數(shù)沒有極值 3分

若，，則

此時當變化時，，的變化情況如下表：

	－				－
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴ 當時，有極大值

故，即為所求 4分

（2）證法一：

當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外

∴在區(qū)間上的最值在兩端點處取得，故應是和中較大的一個

∴，即 8分

證法二（反證法）：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外

∴在區(qū)間上的最值在兩端點處取得，故應是和中較大的一個

假設，則 6分

將上述兩式相加得: ，得，產(chǎn)生矛盾

∴ 8分

（3）【解析】

當時，由可知 9分

當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之內(nèi)

此時，由，有

①若，則，則

于是

11分

②若，則，則，

于是， 13分

綜上可知，對任意的、都有

而當，時，在區(qū)間上的最大值

故對任意的、恒成立的的最大值為 14分

考點：考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．