Question

已知，，直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

(Ⅰ)求直線的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)的最大值；

(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)直線的方程為. .

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為2.

(Ⅲ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)，.∴直線的斜率為，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為.  ∴直線的方程為. 又∵直線與函數(shù)的圖象相切,

∴方程組有一解. 由上述方程消去，并整理得

        ①

依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

解之，得或      .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 

 .  .

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為2.

(Ⅲ) .

，  ， .

由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí)，  ∴當(dāng)時(shí)，，

.     ∴

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值），不等式證明問題。

點(diǎn)評(píng)：典型題，切線的斜率，等于在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式的證明問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的最值達(dá)到目的。