Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足條件：f（2）=f（0）=0，且方程f（x）=x有兩個相等實根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可構(gòu)造關(guān)于a、b、c的方程組，解之即可的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，故2n≤

1

2

，故m＜n≤

1

4

，函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調(diào)遞增，可得f（m）=2m，f（n）=2n，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（2）=f（0）=0可知，4a+2b+c=0，c=0，又f（x）=x有兩個相等實根，
可得（b-1）²-4ac=0，可解得a=-

1

2

，b=1，c=0，
故f（x）的解析式為：f（x）=-

1

2

x²+x．
（Ⅱ）假設存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，
由（Ⅰ）可知f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，故2n≤

1

2

，故m＜n≤

1

4

，
又函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，故f（x）在[m，n]單調(diào)遞增則有f（m）=2m，f（n）=2n，
解得m=0或m=-2，n=0或n=-2，又m＜n，
故m=-2，n=0．

點評：本題為二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題，求對解析式并得出f（x）在[m，n]單調(diào)遞增是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．