Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}均為正項(xiàng)數(shù)列，其中a₁=2，b₁=1，b₂=3，且滿足a_n，b_n+1，a_n+1成等比數(shù)列，b_n，a_n，b_n+1成等差數(shù)列．
（Ⅰ）（1）證明數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求通項(xiàng)公式a_n，b_n；
（Ⅱ）設(shè)x${\;}_{n}=\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$，數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，證明：S_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得到b_n+1=$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，2a_n=b_n+b_n+1．由此推導(dǎo)出$2\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}+\sqrt{{a}_{n+1}}$，n≥2，從而能證明{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．
（2）由已知條件求出$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{{a}_{2}}=\frac{_{2}}{\sqrt{{a}_{1}}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由此能求出通項(xiàng)公式a_n，b_n．
（Ⅱ）由x_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+2）（n+1）^{2}}$=$\frac{2n}{（n+2）（n+1）^{2}n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，利用裂項(xiàng)求和法能證明${S}_{n}＜\frac{1}{2}$．

解答 （Ⅰ）（1）證明：∵數(shù)列{a_n}，{b_n}均為正項(xiàng)數(shù)列，其中a₁=2，b₁=1，b₂=3，
且滿足a_n，b_n+1，a_n+1成等比數(shù)列，b_n，a_n，b_n+1成等差數(shù)列，
∴b_n+1=$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，2a_n=b_n+b_n+1．
∴2a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}•{a}_{n}}$+$\sqrt{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，n≥2
∴$4{{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}{a}_{n}+{a}_{n}{a}_{n+1}+2\sqrt{{{a}_{n}}^{2}{a}_{n-1}{a}_{n+1}}$，n≥2
∴$2\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}+\sqrt{{a}_{n+1}}$，n≥2
∴{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．
（2）解：∵$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，$_{2}=\sqrt{{a}_{1}•{a}_{2}}$，∴$\sqrt{{a}_{2}}=\frac{_{2}}{\sqrt{{a}_{1}}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}）（n-1）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}n+\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+n+\frac{1}{2}$．
b_n=$\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{n}^{2}•\frac{1}{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}n（n+1）$．
（Ⅱ）證明：∵x_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+2）（n+1）^{2}}$=$\frac{2n}{（n+2）（n+1）^{2}n}$＜$\frac{2n+3}{（n+2）（n+1）^{2}n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，
∴S_n=$\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$$-\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}$＜$\frac{1}{2}$，
∴${S}_{n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的前n項(xiàng)和小于$\frac{1}{2}$的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．