Question

某學(xué)生在高考前1個(gè)月買(mǎi)了一本數(shù)學(xué)《高考沖刺壓軸卷》，每套試卷中有10道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是“每題僅選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得5分，不選或選錯(cuò)得零分”．假設(shè)該生在壓軸卷（一）的選擇題中確定能做對(duì)前6題，第7-9題每題只能排除兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，第10題完全不能理解題意，只能隨意猜測(cè)．
（1）求該生選擇題得滿分的概率；
（2）設(shè)該學(xué)生選擇題的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX，若該生要想每次選擇題的平均得分不少于40分，這樣才有更大的機(jī)會(huì)使整卷得到高分120分以上，問(wèn)是否還應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意，該學(xué)生必可答對(duì)前6道題得30分，其余4道題中有3道題目答對(duì)的概率是

1

2

，最后1道題目答對(duì)的概率是

1

4

，從而可求該生選擇題得滿分的概率；
（2）X的所有可能取值是30，35，40，45，50，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列與期望，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，該學(xué)生必可答對(duì)前6道題得30分，其余4道題中有3道題目答對(duì)的概率是

1

2

，最后1道題目答對(duì)的概率是

1

4

．
記該生選擇題得滿分為事件M，則P（M）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

1

4

=

1

32

．（5分）
（2）X的所有可能取值是30，35，40，45，50．
P（X=30）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

3

4

=

3

32

，
P（X=35）=

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

3

4

+

C

3 3

•(

1

2

)3•

1

4

=

5

16

，
P（X=40）=

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

•

3

4

+

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

1

4

=

3

8

，
P（X=45）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

3

4

+

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

•

1

4

=

3

16

，
P（X=50）=

C

3 3

•(

1

2

)3•

1

4

=

1

32

，
所以X的分布列為

X	30	35	40	45	50
P	3 32	5 16	3 8	3 16	1 32

故EX=30×

3

32

+35×

5

16

+40×

3

8

+45×

3

16

+50×

1

32

=38.75．
因?yàn)镋X=38.75＜40，所以該學(xué)生還應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)的運(yùn)用，考查概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．