Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（2）求面AMC與面PMC所成銳二面角的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分別求出兩條直線所在的向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角．
（2）根據(jù)題意分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值．

解答：解：因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AD=1，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

)
（1）因

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
故|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=2，
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

．
（2）由題得：平面PMC的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，

PM

=(0，1，-

1

2

)，

PC

=(-1，-1，1)
所以

n1 • PM =y1- z1 2 =0 n1 • PC =-x1-y1+z1=0

解得：

n1

=(1，1，2)
同理設(shè)平面AMC的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，

AM

=(0，1，

1

2

)，

AC

=(1，1，0)
所以

n2 • AM =y2+ z2 2 =0 n2 • AC =x2+y2=0

解得：

n2

=(1，-1，2)
故cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

3

，
即所求銳二面角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，有利于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角與空間距離等問題．