Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2-a_n（n∈N^*），函數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=2，，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，，A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（1）求{a_n}{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試比較A_n與B_n的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2-a₁=a₁⇒a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，2a_n=a_n-1，{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，f′（x）=x+2，由b_n+1=f′（b_n）得b_n+1=f′（b_n）=b_n+2．由此能求出{a_n}{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題設(shè)條件先求出，再由裂項(xiàng)求和法求出，然后結(jié)合，由錯(cuò)位相減法能求出A_n=，所以，由此能夠比較A_n與B_n的大�。�
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2-a₁=a₁，
∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，
2a_n=a_n-1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
∴．
又 ，
∴f′（x）=x+2，
由b_n+1=f′（b_n），
得b_n+1=f′（b_n）=b_n+2，
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，
故b_n=2n．
（2）∵，b_n=2n，
∴
∴，…①∴…②
①-②得∴
∴
=
∴
令g（x）=2^x-（x+1）
則g′（x）=2^xln2-1
當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）≥g′（1），
即g′（x）≥2ln2-1=ln4-1＞lne-1=0
∴g（x）=2^x-（x+1）在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴2ⁿ≥n+1對于n≥1恒成立
∴
點(diǎn)評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．