Question

求證：當x∈R時，任意f（x）都可以寫成一個奇函數與一個偶函數的和．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：先假設f（x）=g（x）+h（x）是存在的，再根據函數的奇偶性構造方程組，求出g（x）和h（x）的解析式，再由奇（偶）進行驗證即可．

解答： 證明：設g（x）是R上的奇函數，h（x）是R上的偶函數，
先假設f（x）=g（x）+h（x）是存在的，則f（-x）=g（-x）+h（-x），
∵奇函數性質：g（x）=-g（-x），
偶函數性質：h（x）=h（-x）
∴

f(x)+f(-x)=2h(x) f(x)-f(-x)=2g(x)

，
解得g(x)=

f(x)-f(-x)

2

，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

，
則驗證得，g（x）為R上的奇函數，h（x）為R上的偶函數，
由此我們得出結論，當x∈R時，對任意的f（x），我們能夠構造這么兩個函數 
g(x)=

f(x)-f(-x)

2

是奇函數，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

是偶函數，且f（x）=g（x）+h（x）．

點評：本題是探究性的證明題，考查了函數奇偶性的定義及性質的應用，以及方程思想．