Question

函數(shù)f（x）=x³-ax²+1，是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間[0，

3

3

]上為減函數(shù)，且在區(qū)間（

3

3

，1]上是增函數(shù)？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件可得當(dāng)x=

3

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，利用f′（

3

3

）=0，解方程即可．

解答： 解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間[0，

3

3

]上為減函數(shù)，且在區(qū)間（

3

3

，1]上是增函數(shù)，
則當(dāng)x=

3

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，即f′（

3

3

）=0，
∵f（x）=x³-ax²+1，
∴f′（x）=3x²-2ax，
即f′（

3

3

）=3×（

3

3

）²-2×（

3

3

）a=0，解得a=

3

2

，
此時(shí)f′（x）=3x²-2ax=3x²-

3

x=3x（x-

3

3

），
由f′（x）＞0，解得x＞

3

3

或x＜0此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，滿足函數(shù)在區(qū)間（

3

3

，1]上是增函數(shù)，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

3

3

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，滿足函數(shù)在區(qū)間（0，

3

3

]上是減函數(shù)，
故存在實(shí)數(shù)a=

3

2

，滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)條件求出a的值后，要注意進(jìn)行檢驗(yàn)．