Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{ a_n }滿足S_n+S_n-1=+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是數(shù)列{ a_n }的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若T_n＜2對(duì)所有的n∈N^*都成立．求證：0＜t≤1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=1，S₂+S₁=+2，得a₂=，所以a₂=，a_n+a_n-1=t（-）（n≥3），（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，所以a_n-a_n-1=（n≥3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）由T₁=1＜2，T_n=t++++…+=t+t²（1-）=t+t²，知要使T_n＜2，對(duì)所有的n∈N^*恒成立，只要T_n=t+t²＜t+t²≤2成立，由此能夠證明：0＜t≤1．
解答：（Ⅰ）解：∵a₁=1，由S₂+S₁=+2，
得a₂=，∴a₂=0（舍）或a₂=，
S_n+S_n-1=+2，①
S_n-1+S_n-2=+2 （n≥3）②
①-②得a_n+a_n-1=t（-）（n≥3），
（a_n+a_n-1）[1-t（a_n-a_n-1）]=0，
由數(shù)列{ a_n }為正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=（n≥3），
即數(shù)列{ a_n }從第二項(xiàng)開(kāi)始是公差為的等差數(shù)列．
∴a_n=
（Ⅱ）證明：∵T₁=1＜2，當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=t++++…+
=t+t²（1-）
=t+t²．
要使T_n＜2，對(duì)所有的n∈N^*恒成立，
只要T_n=t+t²＜t+t²≤2成立，
∴0＜t≤1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)系、等差數(shù)列、裂項(xiàng)求和法等．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．