Question

已知正項數(shù)列{a_n}中，對于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）證明：數(shù)列{a_n}中的任意一項都小于1；
（2）探究a_n與

1

n

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正項數(shù)列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1），不難得出a₁＜1，a₂＜1，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．證明時先證：①當(dāng)n=1時成立．②再假設(shè)n=k（k≥1）時，成立，即ak＜

1

k

≤

1

2

，再遞推到n=k+1時，成立即可．

解答：解：（1）a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在數(shù)列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1
故數(shù)列{a_n}中的任意一項都小于1．
（2）由（1）知0＜an＜1=

1

1

，
那么a2≤a1-

a

2 1

=-(a1-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

＜

1

2

，
由此猜想：an＜

1

n

（n≥2）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時，顯然成立；
②當(dāng)n=k時（k≥2，k∈N）時，假設(shè)猜想正確，即ak＜

1

k

≤

1

2

，
那么ak+1≤ak-

a

2 k

=-(ak-

1

2

)2+

1

4

＜-(

1

k

-

1

2

)2+

1

4

=

1

k

-

1

k2

=

k-1

k2

＜

k-1

k2-1

=

1

k+1

，
∴當(dāng)n=k+1時，猜想也正確
綜上所述，對于一切n∈N^*，都有an＜

1

n

．

點評：本題主要考查數(shù)列與不等式問題和數(shù)學(xué)歸納法，對探究性問題先歸納，再猜想，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立，屬中檔題．