Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0． （Ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0 ， h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若 ＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

∵ ，

∴

∵a＞2，∴ ，

令f′（x）＞0，即 ，

∵x＞0，∴0＜x＜1或 ，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），

（Ⅱ）解法一：當(dāng)a=4時(shí)，

所以在點(diǎn)P處的切線方程為

若函數(shù) 存在“類對(duì)稱點(diǎn)”P（x0，f（x0）），

則等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x），

當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．

①當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，

等價(jià)于 恒成立，

即當(dāng)0＜x＜x0時(shí)， 恒成立，

令 ，則φ（x0）=0，

要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）單調(diào)遞增即可．

又∵ ，

∴ ，即 ．

②當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立時(shí)， ．…（10分）

∴ ．…（11分）

所以y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ．

（Ⅱ）解法二：

猜想y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ．下面加以證明：

當(dāng) 時(shí)，

①當(dāng) 時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，

等價(jià)于 恒成立，

令

∵ ，∴函數(shù)φ（x）在 上單調(diào)遞增，

從而當(dāng) 時(shí)， 恒成立，

即當(dāng) 時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立．

②同理當(dāng) 時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．

綜上知y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ．

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）法一：a=4時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程根據(jù)新定義問題等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可；

法二：猜想y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ，然后加以證明即可．