【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】[ ,+∞)
【解析】解:f′(x)=lnx﹣2ax+1,
若f(x)在(0,+∞)遞減,
則lnx﹣2ax+1≤0在(0,+∞)恒成立,
即a≥ 在(0,+∞)恒成立,
令g(x)= ,x∈(0,+∞),
g′(x)=﹣ ,
令g′(x)>0,解得:0<x<1,
令g′(x)<0,解得:x>1,
故g(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
故g(x)max=g(1)= ,
故a≥ ,
所以答案是:[ ,+∞).
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.
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【題目】將圓 為參數(shù))上的每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍,得到曲線C.
(1)求出C的普通方程;
(2)設(shè)直線l:x+2y﹣2=0與C的交點為P1 , P2 , 以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0. (Ⅰ)當(dāng)a>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點P(x0 , h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),若 >0在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”.當(dāng)a=4時,試問y=f(x)是否存在“類對稱點”,若存在,請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】一個小球從100米高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的S表示的是( )
A.小球第10次著地時向下的運動共經(jīng)過的路程
B.小球第11次著地時向下的運動共經(jīng)過的路程
C.小球第10次著地時一共經(jīng)過的路程
D.小球第11次著地時一共經(jīng)過的路程
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【題目】已知函數(shù)f(x)=aex﹣blnx,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為 .
(1)求a,b;
(2)證明:f(x)>0.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點P(2,0),曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (Ⅰ)求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)過點P且傾斜角為 的直線l交曲線C于A,B兩點,求|AB|.
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【題目】如圖,在五面體ABCDEF中,面CDE和面ABF都為等邊三角形,面ABCD是等腰梯形,點P、Q分別是CD、AB的中點,F(xiàn)Q∥EP,PF=PQ,AB=2CD=2.
(1)求證:平面ABF⊥平面PQFE;
(2)若PQ與平面ABF所成的角為 ,求三棱錐P﹣QDE的體積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的方程為x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求l的普通方程與C的極坐標(biāo)方程;
(2)已知l與C交于P,Q,求|PQ|.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+ (a≠0).
(1)若a=1,解關(guān)于x的不等式f(x)≥|x﹣2|;
(2)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求正數(shù)m的最大值.
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