Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，點M是A₁B的中點，點N是B₁C的中點，連接MN．
（I）證明：MN∥平面ABC；
（II）若AB=1，AC=AA1═

3

，BC=2，點P是CC₁的中點，求四面體B₁-APB的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AB₁，可證MN∥AC，利用線面平行的判定定理可證MN∥平面ABC；
（2）利用AB=1，AC=AA1═

3

，BC=2，可證明AB⊥AC，AA₁⊥AC，即AC⊥平面ABB₁A₁，從而VB1-APB=VP-B1AB=

1

3

•S△ABB1•AC，問題即可解決．

解答：證明：（Ⅰ）連接AB₁，
∵四邊形A₁ABB₁是矩形，點M是A₁B的中點，
∴點M是AB₁的中點，
∵點N是B₁C的中點，
∴MN∥AC，
∵NM?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC，…6
（Ⅱ）∵AB=1，AC=AA1═

3

，BC=2，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，
∵AA₁⊥AC，AA₁∩AB=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，又CC₁∥平面ABB₁A₁，
∴P到平面平面ABB₁A₁的距離就是AC的長度．
∴VB1-APB=VP-B1AB=

1

3

S△ABB1•AC=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

3

=

1

2

…12

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，著重考查兩判定定理的應用，考查體積轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．