已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2在點（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行．
求：（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≤x2+b恒成立．求b的取值范圍．

解：（1）∵f（x）=lnx+ax2，
∴x＞0，，
∵函數(shù)f（x）=lnx+ax2在點（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴，
∵x＞0，∴由＞0，得0＜x＜；由＜0，得x＞．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（），單調(diào)增區(qū)間為（0，）．
（2）∵函數(shù)f（x）≤x2+b恒成立，
∴b≥lnx-2x2恒成立，
∴b≥（lnx-2x2）max．
設g（x）=lnx-2x2，x＞0．
則，
令=0，得x=．
當0＜x時，g′（x）＞0；當x＞時，g′（x）＜0．
∴當x=時，=ln-2×（）2=1n-．
∴b≥ln-．
故b的取值范圍是（ln-，+∞）．
分析：（1）由函數(shù)f（x）=lnx+ax2在點（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行，解得a=-1．故，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由函數(shù)f（x）≤x2+b恒成立，知b≥lnx-2x2恒成立，故b≥（lnx-2x2）max．由此能求出實數(shù)b的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導數(shù)的幾何意義的應用．解題時要認真審題，注意直線平行的條件和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
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已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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