【題目】四棱錐中，底面是中心為的菱形，，．

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角正弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由題意，，又，則平面，則，又，則平面；

（2）由題意，直線與平面所成的角即為，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，則平面，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求解二面角．

（1）證明：因?yàn)榈酌?/span>是菱形，

故，又，且平面，，

∴平面，∵平面，∴

又∵，，平面，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，

故直線與平面所成的角即為，

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2，由平面幾何知識(shí)，

，

取的中點(diǎn)，連接，則平面，

以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，

平面的一個(gè)法向量為，

平面的一個(gè)法向量為，

，，

故所求二面角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線（）的焦點(diǎn)F，E上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過F作直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，若直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線l的方程及弦的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)有（　　）

A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在“應(yīng)用”的用戶中隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：

每周使用時(shí)間

及以上

男

4

3

3

7

6

30

女

6

5

4

4

8

20

合計(jì)

10

8

7

11

14

50

（1）在每周使用該“應(yīng)用”時(shí)間不超過的樣本中，按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取5名用戶：

①求抽取的5名用戶中男，女用戶各多少人；

②從這5名用戶中隨機(jī)抽取2名用戶，求抽取的2名用戶均為男用戶的概率.

（2）如果每周使用該“應(yīng)用”超過的用戶認(rèn)為“喜歡該應(yīng)用”，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“喜歡該應(yīng)用”與性別有關(guān).

參考公式：，其中

下面的臨界值表僅供參考：

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)， 為線段的中點(diǎn).求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為，與此交點(diǎn)距離最小的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）若函數(shù)滿足方程，求方程在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；

（Ⅲ）把函數(shù)的圖像的周期擴(kuò)大為原來的兩倍，然后向右平移個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的兩倍，最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖像．若對(duì)任意的，方程在區(qū)間上至多有一個(gè)解，求正數(shù)k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）

A. 2n B. 3n C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)平面內(nèi)，若函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)封閉區(qū)域，將區(qū)域沿軸的正方向上移4個(gè)單位，得到幾何體如圖一.現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域面積相等，則此圓柱的體積為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．

（1）求直線l和曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線l和曲線交于兩點(diǎn)，求．

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