Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a，（ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

6

．
（Ⅰ）求ω的值及對(duì)稱軸方程：
（Ⅱ）如果f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換，變換成正弦型函數(shù)然后根據(jù)題中的條件，進(jìn)一步確定ω的值及對(duì)稱軸方程．
（Ⅱ）根據(jù)第一步求得的結(jié)果，依據(jù)在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

，進(jìn)一步求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+

3

2

+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a
∵f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

π

6

∴2ω

π

6

+

π

3

=

π

2

 解得ω=

1

2

∴函數(shù)f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a的對(duì)稱軸方程
令x+

π

3

=kπ+

π

2

 （k∈Z）
解得  x=kπ+

π

6

 （k∈Z）
故函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為：x=kπ+

π

6

 （k∈Z）
（Ⅱ）由（1）得f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a
∵x∈[-

π

3

，

5π

6

]
∴x+

π

3

∈[0，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin(x+

π

3

)≤1
從而函數(shù)f（x）在[-

π

3

，

5π

6

]取得的最小值為-

1

2

+

3

2

+a
∴由題設(shè)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

則

1

2

+

3

2

+a=

3

即 a=

3 +1

2

故答案為：
（1）ω=

1

2

  函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為：x=kπ+

π

6

 （k∈Z）
（2）a=

3 +1

2

點(diǎn)評(píng)：本題的重點(diǎn)是考察三角函數(shù)式的恒等變換、對(duì)稱軸方程、以及在某一定義域下的值域，是高招的重點(diǎn)題型．