Question

已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足y=f(x+

π

2

)為偶函數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數(shù)；
②y=f(x+

π

2

)的圖象可以由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

得到；
③（-π，0）是y=f（x）的圖象的一個對稱中心；
④當x=

π

2

時，y=f（x）一定取最大值．
其中描述正確的是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得f（-x）=-f（x），y=f（x+

π

2

）為偶函數(shù)?函數(shù) y=f（x）關(guān)于x=

π

2

對稱?f（x）=f（π-x），結(jié)合各命題及函數(shù)的性質(zhì)可分別進行判斷．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）（1）
∵y=f（x+

π

2

）為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱
∴函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=

π

2

對稱即f（x）=f（π-x）（2）
由（1）（2）可得f（2π+x）=f（x）故①正確
②y=f（x）

向左平移 π 2

y=f(x+

π

2

)，故②錯誤
③由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（-π）=-f（π）（1）；由周期函數(shù)可得f（x）=f（x+2π）（2）由（1）（2）可得f（-π）=-f（π）=f（π）=0，從而可知③正確
④x=

π

2

是函數(shù)的對稱軸，取函數(shù)的最值，但不一定是最大值，故④錯誤
故答案為：①③

點評：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合運用：函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性（軸對稱與中心對稱），函數(shù)的周期性的相關(guān)知識的綜合運用，還要具備一定的邏輯推導的能力．