Question

已知曲線W上的動點M到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．過點P（-1，0）任作一條直線l與曲線W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）求證

FC

=λ

FB

(λ∈R)；
（Ⅲ）求△PBC面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題知，曲線W是以F（1，0）為焦點，以直線x=-1準線的拋物線，由此可求出曲線W的方程．
（Ⅱ）因為直線l與曲線W交于A、B兩點，所以l的斜率k存在，設直線l的方程為y=k（x+1），

y=k(x+1) y2=4x

得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0．再由根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解．
（Ⅲ）由題意S=

1

2

|PF|•|y1+y2|=|k（x₁+x₂+2）|=|k(

4-2k2

k2

+2)|=

4

|k|

，再由|k|＜1且k≠0，可以求出S的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題知，曲線W是以F（1，0）為焦點，以直線x=-1準線的拋物線，
所以曲線W的方程為y²=4x．（2分）
（Ⅱ）因為直線l與曲線W交于A、B兩點，所以l的斜率k存在，且k≠0
設直線l的方程為y=k（x+1），

y=k(x+1) y2=4x

得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0．（4分）
因為直線l與曲線W交于A、B兩點，
所以k≠0，△=4（k²-2）²-4k⁴＞0，即|k|＜1且k≠0．
設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，點C的坐標為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1）．
所以

FC

=(x1-1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)．（8分）
又因為（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=（x₁-1）k（x₂+1）+（x₂-1）k（x₁+1）
=k（2x₁x₂-2）=0，
所以

FC

=λ

FB

．（10分）
（Ⅲ）由題意S=

1

2

|PF|•|y1+y2|（12分）
=|k（x₁+x₂+2）|
=|k(

4-2k2

k2

+2)|
=

4

|k|

．（13分）
因為|k|＜1且k≠0，所以S的取值范圍是（4，+∞）．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和應用，解題時要認真審題，注意根的判別式和根與系數(shù)的關系的合理運用．