Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B．
（1）求角B的大小；    
（2）求2cos²A+cos（A-C）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）運(yùn)用正弦定理化角為邊，再由余弦定理可得角B；
（2）運(yùn)用內(nèi)角和定理，將C化為A，運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角差的余弦公式和兩角和的正弦公式，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到范圍．

解答： 解：（1）由正弦定理可得，
sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B即為a²+c²-ac=b²，
由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
由0＜B＜π，則B=

π

3

；
（2）由于A+C=π-B=

2π

3

，
則2cos²A+cos（A-C）=1+cos2A+cos（2A-

2π

3

）
=1+cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=1+sin（2A+

π

6

），
0＜A＜

2π

3

，則

π

6

＜2A+

π

6

＜

3π

2

，
則有-1＜sin（2A+

π

6

）≤1，
即有0＜1+sin（2A+

π

6

）≤2．
則所求取值范圍是（0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查二倍角公式，以及兩角和差的正弦、余弦公式，屬于中檔題．