Question

拋物線C₁的頂點(diǎn)在原點(diǎn)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，2），圓C₂過(guò)定點(diǎn)A（0，1），且圓心C₂在拋物線C₁上，記圓C₂與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N．
（1）求拋物線C₁的方程；
（2）當(dāng)圓心C₂在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)|MN|是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)圓心C₂在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出拋物線方程，代入P，即可求出拋物線的方程；
（2）表示出圓被x軸截得的弦長(zhǎng)，利用圓心在拋物線上，即可得出結(jié)論；
（3）表示出

m

n

+

n

m

，分類討論，利用基本不等式，即可求出最大值．

解答： 解：（1）由已知，設(shè)拋物線方程為x²=2py，則
代入P（2，2），可得p=1，
∴拋物線C₁的方程為x²=2y；
（2）設(shè)圓的圓心C₂（a，b），則圓的半徑為

a2+(b-1)2

，
∴圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為|MN|=2

r2-b2

=2

a2+b2-2b+1-b2

=2

a2-2b+1

，
∵a²=2b，
∴|MN|=2；
（3）由（2）知，不妨設(shè)M（a-1，0），N（a+1，0），則
m=

(a-1)2+1

=

a2+2-2a

，n=

(a+1)2+1

=

a2+2+2a

，
∴

m

n

+

n

m

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 a4+4

．
a=0時(shí)，

m

n

+

n

m

=2；
a≠0時(shí)，

m

n

+

n

m

=2

1+ 4 a2+ 4 a2

≤2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=±

2

時(shí)，

m

n

+

n

m

取得最大值2

2

．

點(diǎn)評(píng)：待定系數(shù)法是求圓錐曲線的常用方法，利用基本不等式可以解決最值問(wèn)題．