Question

10．命題：
（1）一直線上有兩點(diǎn)到同一平面的距離相等說明直線與平面平行；
（2）與同一直線所成角相等的兩平面平行；
（3）與兩兩異面的三直線都相交的直線有無數(shù)條；
（4）四面體的四個(gè)面都可能是直角三角形；
以上命題正確的是：（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得①當(dāng)兩點(diǎn)A、B在平面α的同側(cè)時(shí)，直線AB與平面α平行；②當(dāng)線段AB的中點(diǎn)C在平面α內(nèi)時(shí)，A、B到α的距離相等，此時(shí)直線AB與平面α相交；
（2）與同一直線所成角相等的兩平面平行或相交；
（3）在a、b、c上取三條線段AB、CC′、A′D′，作一個(gè)平行六面體ABCD-A′B′C′D′，如圖所示．由直線c上一點(diǎn)P與直線a確定的平面β，β和直線b交于點(diǎn)R，由面面平行的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到PR與直線a是相交直線，故直線PR是與a，b，c都相交的一條直線．最后根據(jù)點(diǎn)P的任意性，可得滿足條件的直線有無數(shù)多條；
（4）△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂線定理知，PC⊥BC，此時(shí)四面體P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形．

解答 解：（1）分兩種情況
①當(dāng)A、B兩點(diǎn)在平面α的同側(cè)時(shí)，由于A、B到α的距離相等，所以直線AB與平面α平行；
②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在平面α的兩側(cè)時(shí)，并且AB的中點(diǎn)C在平面α內(nèi)時(shí)，A、B到α的距離相等，此時(shí)直線AB與平面α相交．
綜上所述，可得：直線與平面平行或直線與平面相交，不正確；
（2）與同一直線所成角相等的兩平面平行或相交，故不正確；
（3）在a、b、c上取三條線段AB、CC′、A′D′，
作一個(gè)平行六面體ABCD-A′B′C′D′，如右圖所示：
在c上，即在直線A′D′上取一點(diǎn)P，過a、P作一個(gè)平面β，
平面β與DD′交于Q、與CC′交于R，則由面面平行的性質(zhì)定理，得QR∥a，
于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a相交，得直線PR是與a，b，c都相交的一條直線．
根據(jù)點(diǎn)P的任意性，得與a，b，c都相交的直線有無窮多條，正確；
（4）如圖，△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，
由三垂線定理知，PC⊥BC，四面體P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形，正確；
故答案為：（3）（4）．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強(qiáng)．