Question

在直三棱柱ABC—A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直線B′C與平面ABC成30°的角.(如圖所示)

(1)求點C′到平面AB′C的距離；(2)求二面角B－B′C—A的余弦值.

Answer 1

解析:

(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距離等于點A′到平面AB′C的距離，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的長是A′到平面AB′C的距離.

∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.即C′到平面AB′C的距離為；

(2)作AN⊥BC于N，則AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，則AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.

說明  利用異面直線上兩點間的距離公式，也可以求二面角的大小，如圖，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，

∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，則AM＝1，BN＝，

CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN與AM所成的角等于二面角B—B′C—A的平面角.設(shè)為θ.由AB²＝AM²+BN²+MN²-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.