如圖，四棱錐的底面是正方形，，點在棱 上.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)，且時，確定點的位置，即求出的值.

（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值.

 

【答案】

（1）詳見解析；(2) ；(3).

【解析】

試題分析：（1）證面面垂直，先證明線面垂直.那么證哪條線垂直哪個面？因為ABCD是正方形， .又由平面可得，所以可證平面，從而使問題得證.

(2)設(shè)AC交BD=O.由（1）可得平面，所以即為三棱錐的高.由條件易得.

因為，所以可求出底面的面積.又因為PD=2，所以可求出點E到邊PD的距離，從而可確定點E的位置.

(3)在本題中作二面角的平面角較麻煩，故考慮建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量求解.

試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形ABCD，.

平面,平面，所以.

，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

(2) 設(shè)., .

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=

中斜邊PB的高h(yuǎn)=

即E為PB的中點.

(3) 連接OE，因為E為PB的中點，所以平面.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(1,0,0)，  E(0,0,1) ，F(xiàn)(0,-1,) ， D(0,-1,0).

平面EFD的法向量為

設(shè)為面AEF的法向量。

令y=1,則

所以二面角A-EF-D的余弦值為

考點：1、平面與平面的垂直；2、幾何體的體積；3、二面角.

 

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（09年朝陽區(qū)二模文）（13分）

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(Ⅰ) 求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

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（1）求證：；

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如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面,,,

點是上的點，且．     

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求的值，使平面；

（Ⅲ）當(dāng)時，求三棱錐與四棱錐的體積之比．

 

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（（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，、分別是棱、的中點.

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（本小題滿分12 分）

如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，

，平面，，為的中點，O為底面對角線的交點；

（1）求證：平面平面； 

（2）求二面角的正切值。

 

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