Question

已知數(shù)列．
（1）計(jì)算x₂，x₃，x₄的值；
（2）試比較x_n與2的大小關(guān)系；
（3）設(shè)a_n=|x_n-2|，S_n為數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知的遞推式，n分別取2，3，4，代入計(jì)算即可得到x₂，x₃，x₄的值；
（2）根據(jù)條件可得x_n+1-2與x_n-2相反，而x₁=1＜2，則x₂＞2，依此類推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2；
（3）根據(jù)遞推式，當(dāng)n≥2時(shí)，，則x_n＞1，所以我們有，從而可得，再求和，即可得到所要證明的結(jié)論．
解答：（1）解：∵x₁=1，
∴；；．…（3分）
（2）解：∵當(dāng)
又
∴x_n+1-2與x_n-2相反，而x₁=1＜2，則x₂＞2
依此類推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2…（8分）
（3）證明：∵當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴x_n＞1，
∴
∴
∴
∴當(dāng)．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的項(xiàng)及項(xiàng)的性質(zhì)，考查放縮法證明不等式，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用好遞推式．