已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，滿足n
a
2
n
+(1-n2)a n-n=0．
（1）計算a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
an
2n
}的前n項和Sn．
分析：（1）將已知條件因式分解為（nan+1）（an-n）=0，再由數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，能求出a1，a2和數(shù)列{an}的通項公式；
（2）由（1）知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，而{
1
2n
}為等比數(shù)列，利用錯位相減法能求出數(shù)列{
an
2n
}的前n項和Sn．
解答：解：（1）∵n
a
2
n
+(1-n2)a n-n=0，
∴（nan+1）（an-n）=0，
又∵數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，
∴an=n，
∴a1=1，a2=2．
（2）∵an=n，∴
an
2n
=
n
2n
，
∴Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n-1
2n-1
+
n
2n
，①
2Sn=
1
1
+
2
2 
+
3
22
+…+
n-1
2n-2
+
n
2n-1
，②
錯位相減，②-①，得：
Sn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n

=
1×(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n

=2-
n+2
2n
．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意因式分解和錯位相減法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p為大于1的常數(shù)），則an=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，觀察下面的程序框圖
（1）若d≠0，分別寫出當k=2，k=3時s的表達式．
（2）當輸入a1=d=2，k=100 時，求s的值（ 其中2的高次方不用算出）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•資陽一模）已知數(shù)列{an}各項為正數(shù)，前n項和Sn=
1
2
an(an+1)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+3an，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令cn=
3an
2
b
2
n
，數(shù)列{cn}前n項和為Tn，求證：Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}各項均不為0，其前n項和為Sn，且對任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p≠±1的常數(shù)），記f(n)=
1+
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an
2nSn
．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
f(n+1)
f(n)
；
（Ⅲ）當p＞1時，設bn=
p+1
2p
-
f(n+1)
f(n)
，求數(shù)列{pk+1bkbk+1}的前n項和．

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