Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中的前n項(xiàng)和Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
（1）求a₁、a₂；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)；
（3）令b_n=20-a_n，求數(shù)列{b_n}的前多少項(xiàng)和最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）y由Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0，當(dāng)n=1時(shí)，，可求a₁=1，當(dāng)n=2時(shí)，S₂=1+a₂可求a₂=3
（2）由Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

( an-1+1)2

4

可得a_n-a_n-1=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（3）由b_n=20-a_n=21-2n可得S_n=-n²+20n=-（n-10）²+100，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求和的最大值及取得最大值的條件

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s1=

1

4

(a1+1)2，此時(shí)a₁=1
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=1+a₂=

1

4

(a2+1)2，此時(shí)a₂=3
（2）∵Sn=

1

4

(an+1)2，且an＞0．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

(an+1)2

4

-

( an-1+1)2

4

∴（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1≠0
∴a_n-a_n-1=2
數(shù)列{a_n}是以2為公差，以為首項(xiàng)的等差數(shù)列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（3）∵b_n=20-a_n=21-2n
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=19n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+20n
=-（n-10）²+100
當(dāng)n=10，和最大，最大值是100

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)及數(shù)列的通項(xiàng)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能綜合應(yīng)用等差數(shù)列的綜合知識(shí)．