Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=3，設(shè)數(shù)列的前項和為S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n；
（II）求An=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可求得等差數(shù)列{a_n}的公差，從而可數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n；
（II）由（Ⅰ）里用裂項法可求得

1

Sn

，累加即可求得A_n．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=3且

1

a1

、

1

a2

、

1

a4

成等比數(shù)列得(

1

a2

)2=

1

a1

×

1

a4

，
即(

1

3+d

)2=

1

3

×

1

3+3d

，
解得d=3．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3n，
∴S_n=

3n(n+1)

2

．
（2）∵

1

Sn

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

2

3

（1-

1

n+1

）
=

2n

3n+3

．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與裂項法求和，求得a_n的通項公式是關(guān)鍵，考查分析與轉(zhuǎn)化的解決問題的能力，屬于中檔題．