Question

（2012•湛江二模）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，

1

1-an+1

=

1

1-an

+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[3.2]=3，[-1.3]=-2等，已知函數(shù)f（x）=[x]，數(shù)列{b_n}的通項為bn=f(

1

2

•

1

1-an

)，試求{b_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

分析：（1）由a1=

1

2

，

1

1-an+1

=

1

1-an

+1可得數(shù)列{

1

1-an

}是以

1

1-a1

= 2為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可求
（2）由bn=f(

1

2

•

1

1-an

)=f（

1+n

2

）可得，f（

2

2

）=f（

3

2

）=1，f（

4

2

）=f(

5

2

)=2，…f(

2n

2

)=f(

2n+1

2

)=n，代入可求和

解答：解：（1）由a1=

1

2

，

1

1-an+1

=

1

1-an

+1
可得數(shù)列{

1

1-an

}是以

1

1-a1

= 2為首項，以1為公差的等差數(shù)列（2分）
∴

1

1-an

=2+(n-1)•1=n+1（4分）
∴an=

n

n+1

（5分）
（2）bn=f(

1

2

•

1

1-an

)=f（

1+n

2

），又函數(shù)f（x）=[x]，
∴S2n=f(

2

2

)+f(

3

2

)+f(

4

2

)+…+f(

2n-2

2

)+f(

2n-1

2

)+f(

2n

2

)+f(

2n+1

2

)
=1+1+2+2+…+（n-1）+n+n（8分）
=2（1+2+…+n）
=n²+n（12分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的通項公式、求和公式的應(yīng)用，解題（2）的關(guān)鍵是由定義求出f（

1+n

2

）的值