Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（Ⅰ）求曲線的平面直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）直接根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式結(jié)合三角函數(shù)中的兩角和與差的三角函數(shù)公式即可實(shí)現(xiàn)將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）先將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為含的一元二次方程，然后根據(jù)參數(shù)方程中的相關(guān)理論直接求的值.
試題解析：（Ⅰ）由，得，
當(dāng)時(shí)，得，
對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)方程為：.
當(dāng)，有實(shí)數(shù)解，說(shuō)明曲線過(guò)極點(diǎn)，而方程所表示的曲線也過(guò)原點(diǎn).
∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．　       3分
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得，
即，由于，故可設(shè)是上述方程的兩實(shí)根，
則.      5分
∵直線過(guò)點(diǎn)，
∴由的幾何意義，可得．    7分