Question

如圖，邊長為a的正三角形ABC，PA⊥平面ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，QC=，PQ與AC延長線交于F點．
（1）若D為PB中點，證明：QD∥平面ABC；
（2）證明：BF⊥平面PAB．

Answer 1

證明：（1）取AB中點E，連接DE，則DEPA，連接CE
∵PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，
∴PA∥QC，∴DEQC
∴四邊形DECQ為矩形
∴DQ∥CE，CE?面ABC，
∴DQ∥面ABC（6分）
（2）∵PA∥QC，且
∴C為AF中點
∴BF⊥BA
∵PA⊥面ABC?BF⊥面PAB（11分）
∴BF⊥PA（12分）
分析：（1）取AB中點E，連接DE、CE，根據(jù)三角形中位線定理，及PA⊥面ABC，QC⊥面ABC，易證明出四邊形DECQ為矩形，則DQ∥CE，由線面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）中PA∥QC，PA=a，QC=，易得到C為AF的中點，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，可得BF⊥BA，根據(jù)線面垂直的判定中得BF⊥面PAB．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理，幾何特征是解答本題的關鍵．