Question

已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)P（0，m）(m>0)，且與定直線相切，動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為C，直線過(guò)點(diǎn)P 交曲線C于A、B兩點(diǎn)。
(1)若交軸于點(diǎn)S,求的取值范圍；
（2）若的傾斜角為，在上是否存在點(diǎn)E使△ABE為正三角形? 若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）   （2）直線l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形 

(1)依題意，曲線C是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線C的方程為……（2分）
設(shè)方程為代入由消去得
設(shè)、，則……（3分）

所以的取值范圍是……（7分）
（2）由(1)知方程為代入由消去得
，……（8分）
假設(shè)存在點(diǎn)，使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|且|AE|=|AB，……（9分）
即……（11分）
若，則
因此，直線l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形. ……（12分）
解法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則……（8分）
由聯(lián)立方程
與方程求得……（10分）
由得，矛盾
因此，直線l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形. ……（12分）