Question

已知M（-5，0），N（5，0）是平面上的兩點，若曲線C上至少存在一點P，使|PM|=|PN|+6，則稱曲線C為“黃金曲線”．下列五條曲線：
①

y2

16

-

x2

9

=1；
②

x2

4

+

y2

9

=1；          
③

x2

4

-

y2

9

=1；
④y²=4x；
⑤x²+y²=9．
其中為“黃金曲線”的是

 

．（寫出所有“黃金曲線”的序號）

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知得P的軌跡是以M（-5，0），N（5，0）為焦點的雙曲線的右支，方程為

x2

9

-

y2

16

=1，且x∈[3，+∞），由此能求出“黃金曲線”．

解答： 解：∵M（-5，0），N（5，0）是平面上的兩點，存在一點P，使|PM|=|PN|+6，
∴P的軌跡是以M（-5，0），N（5，0）為焦點的雙曲線的右支，
方程為

x2

9

-

y2

16

=1，且x∈[3，+∞），
①

y2

16

-

x2

9

=1上不存在x≥3的點P（x，y）滿足方程為

x2

9

-

y2

16

=1，故①不是“黃金曲線”；
②

x2

4

+

y2

9

=1上x∈[-2，2]，不存在x≥3的點P（x，y）滿足方程為

x2

9

-

y2

16

=1，故②不是“黃金曲線”；    
③

x2

4

-

y2

9

=1上不存在x≥3的點P（x，y）滿足方程為

x2

9

-

y2

16

=1，故③不是“黃金曲線”；
④y²=4x中，x≥0，y∈R，與方程為

x2

9

-

y2

16

=1有交點，滿足題意，
故④是“黃金曲線”．
⑤x²+y²=9的圓心為（0，0），半徑為3，與方程為

x2

9

-

y2

16

=1有交點，滿足題意，
故⑤是“黃金曲線”．
故答案為：④⑤．

點評：本題考查“黃金曲線”的判斷，是基礎題，解題時要注意圓錐曲線的性質(zhì)的合理運用．