Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A₁A=AD=1，E為AD₁與A₁D的交點．
（1）求二面角C-AD₁-D 的平面角正切值．
（2）求D點到平面ACD₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D為坐標原點，以DA、DC、DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面AD₁D與AD₁C的一個法向量，由兩個法向量所成的角的余弦值求二面角的余弦值，從而求出正切值；
（2）在（1）中求出了AD₁C的一個法向量，E點是平面AD₁C上的一個點，求出向量，則向量在平面AD₁C的一個法向量上的投影的絕對值即為點D到平面ACD₁的距離．
解答：解：（1）如圖，

以DA、DC、DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
因為AB=2，A₁A=AD=1，E為AD₁與A₁D的交點，
所以，A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
E（），D（0，0，0）．
，，．
則平面AD₁D的一個法向量為，
設平面AD₁C的一個法向量，
由，得，取y=1，則x=z=2，
所以．
再設二面角C-AD₁-D 的平面角為θ，
則cosθ=．
所以sinθ=．
則二面角C-AD₁-D 的平面角正切值為tanθ=．
（2）D點到平面AD₁C的距離為=．
所以D點到平面ACD₁的距離為．
點評：本題考查了空間中的點線面的角及距離的計算，考查了向量法，利用向量法求解空間角和距離的關鍵是在理解的基礎上熟記有關公式，該題是中檔題．