Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=5，b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），cn=

1

an•log2(bn-1)

，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n與

1

2

的大小關(guān)系為

 

．

Answer 1

分析：先由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再由b_n+1=2b_n-1?b_n+1-1=2（b_n-1）進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；代入即可求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)以及前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題設(shè)知：an=

Sn=2                  (n=1) Sn-Sn-1=2n        (n≥1)

，即a_n=2n；
又由b_n+1-1=2（b_n-1）得{b_n-1}是以5-1=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以b_n-1=2ⁿ⁺¹，
所以cn=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
故T_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

．
故答案為：Tn＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式以及已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)．已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．