已知函數(shù)f(x)對任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－2．

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．

(2)當(dāng)x∈[－3，3]時，函數(shù)f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

　　∴f(0)＝f(0)＋f(0)f(0)＝0．

　　而0＝x－x，因此0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

　　即f(x)＋f(－x)＝0f(－x)＝－f(x)．

　　∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

　　(2)設(shè)x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，知

　　f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0．

　　又當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，

　　∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0．∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x1)＞f(x2)．

　　∴函數(shù)f(x)是定義域上的減函數(shù)，當(dāng)x∈[－3，3]時，函數(shù)f(x)有最值．

　　當(dāng)x＝－3時，函數(shù)有最大值f(－3)；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有最小值f(3)．

　　f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6．

　　∴當(dāng)x＝－3時，函數(shù)有最大值6；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有最小值－6．


提示：

本題中的函數(shù)f(x)是抽象函數(shù)，則用定義法判斷它的奇偶性和單調(diào)性．(1)首先利用賦值法求得f(0)，再利用定義法判斷f(x)的奇偶性；(2)利用定義法判斷函數(shù)f(x)在[－3，3]內(nèi)的單調(diào)性，利用單調(diào)法求出最值．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京市海淀區(qū)2012屆高三下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)文科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)＝則f(f(x))＝________；

下面三個命題中，所有真命題的序號是________．

①函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

②任取一個不為零的有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)對x∈R恒成立；

③存在三個點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))使得△ABC為等邊三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試、理科數(shù)學(xué)(上海卷) 題型：044

若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＞|y－m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．

(1)若x2－1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(xué)(上海卷) 題型：044

若實數(shù)x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海高考真題 題型：解答題

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m，
(Ⅰ)若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
(Ⅱ)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab；
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)(結(jié)論不要求證明)．

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