Question

函數(shù)f（x）=2lnx+

ax

x+1

有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，其中a為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)命題p：?x∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

x+1

≥

f(x)+2

x

-2，試判斷命題p的真假，并說明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）因?yàn)閒（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，則x₁，x₂是方程2x²+（a+4）x+2=0的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，解不等式可得a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)命題p：?x∈（0，+∞），

f(x1)+f(x2)

x+1

≥

f(x)+2

x

-2，可轉(zhuǎn)化為lnx-x+1≤0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)示求出最值，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(a+4)x+2

x(x+1)2

              …（2分）
因?yàn)閒（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，
則x₁，x₂是方程2x²+（a+4）x+2=0的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根
所以

△＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，即

(a+4)2-16＞0 - a+4 2 ＞0

    …（4分）
解得：a＜-8，
故a的取值范圍是：（-∞，-8）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x₁•x₂=1
故f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁+

ax1

x1+1

+2lnx₂+

ax2

x2+1

=2ln（x₁•x₂）+a（

x1

x1+1

+

x2

x2+1

）
=a•

2x1x2+x1+x2

x1x2+x1+x2+1

=a•

2+x1+x2

2+x1+x2

=a，…（9分）
所以不等式

f(x1)+f(x2)

x+1

≥

f(x)+2

x

-2化為：

a

x+1

≥

f(x)+2

x

-2，
即 ax≥（x+1）f（x）+2（x+1）-2x（x+1），
即  ax≥（x+1）2lnx+ax+2（x+1）-2x（x+1），
因?yàn)閤＞0，則不等式可化為：lnx-x+1≤0              …（11分）
令g（x）=lnx-x+1，則g′（x）=

1

x

-1（x＞0）．
x＞1時(shí)，g′（x）＜0；0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）_max=g（1）=0
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，lnx-x+1≤0恒成立．
故命題p為真命題                                      …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值問題中的應(yīng)用，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性可，屬于難題．