據(jù)環(huán)保部門測定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數(shù)為.現(xiàn)已知相距18的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為,它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設).

(1)試將表示為的函數(shù); (2)若,且時,取得最小值,試求的值.

 

(1) , (2) 8.

【解析】

試題分析:(1)解實際問題應用題,關鍵要正確理解題意,正確列出等量關系,注意考慮函數(shù)定義域. 設點C受A污染源污染程度為,點C受B污染源污染程度為,其中為比例系數(shù),且.從而點C處受污染程度.定義域為 (2) 因為,所以,,求復雜分式函數(shù)最值,通?紤]利用導數(shù)求解. ,令,得,因此函數(shù)在單調減,在單調增,即在時函數(shù)取極小值,也是最小值. 又此時,解得,經驗證符合題意.

解:(1)設點C受A污染源污染程度為,點C受B污染源污染程度為,其中為比例系數(shù),且. 4分

從而點C處受污染程度. 6分

(2)因為,所以,, 8分

,令,得, 12分

又此時,解得,經驗證符合題意.

所以,污染源B的污染強度的值為8. 14分

考點:利用導數(shù)求函數(shù)值域

 

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