Question

如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB與ND交于P點(diǎn)，點(diǎn)Q在AB上，且BQ=．
（I）求證：QP∥平面AMD；
（Ⅱ）求七面體ABCDMN的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得MD∥NB．進(jìn)而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用線面平行的性質(zhì)即可得出QP∥平面AMD．
（II）連接BD，AC交于點(diǎn)O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得MD⊥AC，再利用線面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO為四棱錐A-MNBD的高，進(jìn)而得到V_A-MNBD的體積．即可得出V_{幾何體ABCDMN}=2V_A-MNBD．
解答：（I）證明：∵M(jìn)D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB．
∴，又=，
∴，
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（II）連接BD，AC交于點(diǎn)O，則AC⊥BD．
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，
∴AC⊥平面MNBD．
∴AO為四棱錐A-MNBD的高，又=．
∴=2．
∴V_{幾何體ABCDMN}=2V_A-MNBD=4．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行于垂直的判定與性質(zhì)、線線平行的判定與性質(zhì)、四棱錐的體積等是解題的關(guān)鍵．