如圖，長方體中，，，點(diǎn)在上，且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

【答案】

（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則．

，．　　　                    ……2分

有，，

故，．

又，所以平面． 　　　                                     ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)向量是平面的法向量，則

  

令，則，，．                                          ……10分

．

所以二面角的余弦值為．                                            ……13分

考點(diǎn)：本小題注意考查空間中線面垂直的證明，二面角的求解.

點(diǎn)評(píng)：用空間向量證明立體幾何問題的依據(jù)還是相應(yīng)的判定定理，如第一問中必須強(qiáng)調(diào)；另外，用法向量求二面角時(shí)，求出的可能是要求的角的補(bǔ)角，要仔細(xì)判斷二面角時(shí)銳角還是鈍角.

 

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如圖，長方體中由下面的平面圖形圍成的是（　�。�

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（2）AE等于何值時(shí)，二面角D1-EC-D的大小為
π4
．

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（08年濰坊市二模）（12分）如圖，長方體中，，，M是AD中點(diǎn)，N是中點(diǎn)．

 

　�。�1）求證：、M、C、N四點(diǎn)共面；

　　（2）求證：；

　�。�3）求證：平面⊥平面；

　�。�4）求與平面所成的角．

 

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如圖，長方體中，為中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由；

（3）若二面角的大小為，求的長.

 

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（12分）如圖,在長方體中，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求與平面所成的角；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

 

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