Question

已知函數.
（1）求的單調區(qū)間；
（2）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有.

Answer 1

(1) 單調遞減區(qū)間為,
單調遞增區(qū)間為.(2)詳見解析

試題分析:(1)對函數求導得到導函數,求大于0和小于0的解集得到單調減區(qū)間和單調增區(qū)間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數的定義域.
(2)利用(1)問的結果可知函數在區(qū)間上是單調遞減的,即在區(qū)間上至多一個零點,根據正余弦的函數值可得,再根據在區(qū)間上單調性和函數在區(qū)間端點處函數值異號可得函數在區(qū)間上有且只有一個零點,即,則依次討論利用放縮法即可證明.
數求導可得,令可得
,當時,.此時;
當時,,此時,
故函數的單調遞減區(qū)間為,
單調遞增區(qū)間為.
(2)由(1)可知函數在區(qū)間上單調遞減,又,所以,
當時,因為,且函數的圖像是連續(xù)不斷的,所以在區(qū)間內至少存在一個零點,又在區(qū)間上是單調的,故,因此,
當時,;
當時,;
當時,


,
綜上所述,對一切的,.