Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,,,底面,,點在棱上,且

（1）證明：面面;

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

方法一：（1）由題意，得出，再由菱形的性質，求得，由線面垂直的判定定理，證得面，進而利用面面垂直的判定定理，即可得到面面；

（2）連接OE,證得，得到是二面角的平面角，在中，即可求解.

法二：（1）以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，根據，得面，在面面垂直的判定定理，證得面面；

（2）分別求得平面和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）證明：∵面

∴

∵在菱形中，

且

∴面

故面面

（2）連接，則面面

故在面內的射影為

∵

∴

又由（1）可得，

故是二面角的平面角

菱形中，,

∴,

又 所以

故

∴ 即二面角的余弦值為

法二：（1）菱形中， 又面

故可以以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系

由 可知相關點坐標如下：

則平面的一個法向量為

因為 所以 故面

從而面面

（2）設，則

因為

所以

故

可得：

平面的一個法向量為

設平面的一個法向量

則 故

∴

即二面角的余弦值為