Question

已知函數(shù)f（x）=cos（

π

4

x-

π

3

）+2cos²

π

8

x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若f（a）=1+

3

2

，a∈（0，5），A=

π

3

，b=1，求邊c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式：f（x）=

3

sin（

π

4

x+

π

3

）+1，然后，直接確定函數(shù)的周期和最值即可；
（Ⅱ）利用條件f（a）=1+

3

2

，求解a的值，然后，借助于余弦定理求解邊c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（

π

4

x-

π

3

）+2cos²

π

8

x
=

3

2

sin

π

4

x+

3

2

x+1
=

3

sin（

π

4

x+

π

3

）+1
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

π 4

=8，
最大值為

3

+1，最小值為-

3

+1，
（Ⅱ）∵f（a）=

3

sin（

π

4

x+

π

3

）+1=1+

3

2

，
∴sin（

π

4

a+

π

3

）=

1

2

．
∵a∈（0，5），
∴

π

4

a+

π

3

=

5π

6

，
得a=2，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+c²-c．
c²-c-3=0；
解得c=

1+ 13

2

（舍去c=

1- 13

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二倍角公式、余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題，難度中等．